2⃣ 平方根の大小・・・正の数 a,b について、a ＜ b ならば
√a ＜ √b
（例）(1) √７と√１０の大小 (2)３と√１０の大小
７＜１０だから ３＝√９で、９＜１０だから
√７＜ √１０ √９＜ √１０
すなわち ３＜ √１０
また、負の平方根の大小は、次のようになる。
√a ＜ √b のとき
－√b ＜ －√a
■ 平方根の意味と表し方・・・２乗すると a になる数を、a の平方根という。
つまり、a の平方根は、χ²＝ a を成り立たせる χ の値のことである。
（例）３²＝９、（－３）²＝９
⇒ ９の平方根は３と－３である。
これらをまとめて±３と書き、「プラスマイナス３」と読む。
●平方根●
1⃣ 正の数には平方根が２つあって、絶対値が等しく、符号が異なる。
2⃣ ０の平方根は０だけである。（負の数には平方根はない）
■ 平方根の表し方・・・a が正の数であるとき、a の２つの平方根のうち、
正のほうを √a
負のほうを －√a
と書く。また√０＝０とする。
記号√を根号という。√aは、「ルートa」と読む。
（例）
(1) ３の平方根は、√３と－√３である。
これらをまとめて±√３と書く。
これを「プラスマイナスルート３」と読む。
(2) √９は、９の平方根の正のほうであるから、
√９＝３
－√９は、９の平方根の負のほうであるから、
－√９＝－３
■ 平方根の値・・・a を正の数とするとき、次の式が成り立つ。
（√a）²＝ a
（－√a）²＝ a
（例）（√３）²＝３，（－√３）²＝３
4⃣ 図形に関する問題
（例題）
右の図のように、縦の長さが χ，横の長さがｙの
長方形の土地の２辺にそって、幅 aの道がある。
この道の面積をＳ，道の中央を通る線の長さを
ℓ とするとき、Ｓ＝ a ℓとなる。このことを証明し
なさい。
（解き方）
Ｓ，ℓ をそれぞれ a，χ，ｙを使って表す。
（証明）
Ｓ＝(χ＋a)(y＋a)－χｙ＝ a χ＋aｙ＋a²・・・・・・・①
したがって、a ℓ = a(χ＋ｙ＋a) ＝ a χ + a y + a²・・・②
①、②より S ＝ a ℓ
3⃣ 式の値
（例題）
（１）χ ＝５，ｙ＝７のとき (χ+y)²－(χ²+y²) の値を求めなさい。
（２）χ ＝２７，ｙ＝１３のとき χ²＋２χｙ＋ｙ²の値を求めなさい。
（解き方）
（１）式を計算してから値を代入する。
(χ+y)²－(χ²+y²) ＝ χ²＋２χｙ＋ｙ²－χ²－ｙ²
＝ ２χｙ
＝ ２×５×７＝７０ 答 ７０
（２）式を因数分解してから値を代入する。
χ²＋２χｙ＋ｙ²
＝ ( χ + y )²
＝（２７＋１３）²
＝ ４０²＝１６００ 答 １６００
2⃣ 展開や因数分解を利用した計算
乗法の公式や因数分解を利用すると、答えが簡単に求められることがある。
（例題）
（１）３５²－１５² ↴ 公式４'
＝（３５＋１５）（３５－１５）
＝５０×２０
＝１０００
（２）５１²＝（５０＋１）² ↴ 公式２'
＝５０²＋２×５０×１＋１²
＝２６０１
