中学生二次方程式の解き方は？平方根・因数分解・解の公式の使い方や練習問題も
中学校数学の難関ともいえる二次方程式に、頭を悩ませている中学生は多いのではないでしょうか。二次方程式は問題のパターンが決まっているので、解き方をおさえることで点数アップも期待できます。本記事では、平方根・因数分解・解の公式を使った解き方をそれぞれ解説します。練習問題も紹介しているので、学習にお役立てください。
二次方程式の計算が楽になる！解法の使い分け
二次方程式は、右辺と左辺が「=」で成り立つ方程式の一種です。「二次」とは、二乗（同じ文字を2回かけること）した文字が入っていることを意味します。例えば、「x²＋4x＋3＝0」「a²−6a＋8＝0」のような式は、全て二次方程式です。
二次方程式の解法（解き方）は基本的に3つあり、「平方根」「因数分解」「解の公式」のいずれかを使って計算します。「どの解法が使えそうか」を判断できると、計算のロスを減らせるでしょう。計算が簡単な順に、解法の特徴と計算方法を説明します。
「x²＝整数」が成立するときは「平方根」を利用
「x²＝36」のように「文字の二乗＝整数」が成立する二次方程式は、平方根を取ることで答えが求められます。整数とは小数・分数を除く実数を指します。正の数はもちろん、0や負の数（−がつく数）が含まれる点に注意しましょう。
「平方根を取る」には、「36が何の二乗か（x²＝36の場合）」を考える必要があります。
二乗して36になる数には、6が該当します。もちろん正解ですが、（−6）を二乗した数も36になる点に注意しましょう。よって「x²＝36」の答えは、「x＝6」と「x＝−6」です。
「9（3×3）」「16（4×4）」「25（5×5）」といった二乗が成立する整数を覚えておくと、「平方根が使えるか」を判別しやすいでしょう。九九では求められない、「121（11×11）」「144（12×12）」「169（13×13）」なども頻出です。
x²の係数が1のときは「因数分解」を試す
「x²＋5x＋4＝0」のように、「x²」の係数が1で、かつ平方根が成立しない場合は因数分解を検討しましょう。因数分解は、二次方程式を一次式同士のかけ算にする方法です。係数は文字にかけられる数字を指し、1の場合は省略する決まりです。そのため、この場合「x²」の係数は1だと判断できます。「2 x²」の係数は2となります。
二次方程式で出題されやすいのは、「ax²＋bx＋c＝0」を「（x＋p）（x＋q）＝0」に因数分解するパターンです。さらに、pとqには「足してb、かけてcになる」という関係性があります。
先ほどの「x²＋5x＋4＝0」で考えると、足して5、かけて4になる数字は「4」と「1」です。そのため、「（x＋4）（x＋1）＝0」に因数分解できます。「（x＋4）＝0」「（x＋1）＝0」をそれぞれ計算し、答えは「x＝−4」「x＝-1」になります。
いずれも当てはまらないときは「解の公式」を使う
平方根が成立せず、因数分解もできそうにない場合は、「解の公式」を使います。一般的な二次方程式「ax²＋bx＋c＝0」の答えは、「x＝｛−b±√（b²−4ac）｝/2a」の公式（解の公式）で求められます。
解きたい二次方程式の係数（a・b・cに当たる数字）を確認し、公式に代入するだけで答えが出せます。
例えば「2x²＋3x−2＝0」の場合は、「a＝2」「b＝3」「c＝−2」です。解の公式に当てはめると、「x＝−3±√（9＋16）/4」になります。
さらに計算した式は「x＝−3±√25/4」ですが、√25を整数に直せる点に注意しましょう。
√25は√5×√5と同じなので、「√a×√a＝a」の公式が成り立ちます。
そのため、「x＝−3±5/4」になります。
「x＝（−3＋5）/4」と「x＝（−3−5）/4」をそれぞれ計算すると、答えは「x＝1/2」と「x＝−2」です。
二次方程式の練習問題と解説
二次方程式の練習問題は、「平方根」「因数分解」「解の公式」のいずれかを使って計算するパターンが主流です。ここからは練習問題を使って、答えの導き方を解説します。
「平方根」で解く場合
【問題例1】
x²−25＝0を解きなさい。
〈解説〉
−25を右辺に移項すると「x²＝25」になるため、平方根を取って答えを求めます。25の平方根は±5なので、「x＝5」と「x＝−5」が答えです。平方根を取るときには、＋と−の2種類がある点に注意しましょう。
【問題例2】
3a²−48＝0を解きなさい。
〈解説〉
「a²」の係数である3で割ると、「a²−16＝0」が成立します。移項して「a²＝16」となるので、平方根を取って答えを求めます。16の平方根は±4なので、答えは「a＝4」と「a＝-4」です。
「因数分解」で解く場合
【問題例】
x²＋10x＋16＝0を解きなさい。
〈解説〉
平方根を取れそうにないため、因数分解が使えるかを試してみましょう。
数字に着目し、かけて「16」、足して「10」になる2つの数字を探します。かけて16になる式は「4×4」「16×1」「8×2」の3つなので、それぞれ足して10になるかを考えます。
「8×2」の8と2は足して10になるため、因数分解が成立します。公式に当てはめて「（x＋8）（x＋2）＝0」を計算して導き出される答えは、「x＝−8」と「x＝−2」です。
「解の公式」で解く場合
【問題例】
3x²＋5x−2＝0を解きなさい。
〈解説〉
「x²」の係数が1ではなく、平方根も取れそうにないため、解の公式を使います。「a＝3」「b＝5」「c＝−2」を公式に代入すると、「x＝｛−5±√（25＋24）｝/6」となります。
√49は√7を2回かけた数なので、√49＝7です。
そのため、式は「x＝−5±7/6」となります。
「x＝-5+7/6」と「x＝-5-7/6」をそれぞれ計算すると、答えは「x＝1/3」と「x＝−2」です。
二次方程式の理解には、既習内容の復習も大切
中学3年生で学習する「二次方程式」は、方程式の集大成ともいえる単元です。1年生の「方程式」や2年生の「連立方程式」の知識が前提になっているので、「学校の授業についていけない」と悩んでいる中学生は多いのではないでしょうか。
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